Phương pháp giải:

Tìm đạo hàm của hàm số đã cho để xác định tính đồng biến, nghịch biến trên \(D\).

Tìm giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn.

Lời giải chi tiết:

TXĐ:    \(D = \left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( { - 1; + \infty } \right)\) nên hàm số đã cho xác định và liên tục trên \(\left[ {0;2} \right]\).

Ta có:

     \(\begin{array}{l}y = f\left( x \right) = \dfrac{{3x + 2}}{{x + 1}}\\ \Rightarrow f'\left( x \right) = \dfrac{{3\left( {x + 1} \right) - \left( {3x + 2} \right)}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = \dfrac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} > 0,\forall x \in D\end{array}\)

Suy ra hàm số đã cho luôn đồng biến trên từng khoảng xác định hay hàm số đồng biến trên đoạn \(\left[ {0;2} \right]\)

Do đó  \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;2} \right]} f\left( x \right) = f\left( 2 \right) = \dfrac{8}{3}\).

Chọn D.