Phương pháp giải:

Tìm hoành độ giao điểm của hai đồ thị.

Tìm nghiệm của phương trình bậc 3 rồi suy ra tọa độ của A,B,C.

Lời giải chi tiết:

Hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số \(y=2x^{3}-3x^{2}+1\) và đồ thị hàm số \(y = x - 1\) là nghiệm của phương trình:

\(2x^{3}-3x^{2}+1=x-1\) \(\Leftrightarrow 2x^{3}-3x-x+2=0\)

\(\Leftrightarrow \left ( x-1 \right )\left ( 2x^{2}-x-2 \right )=0\) \(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x =  \frac{1+\sqrt{17}}{2}\\x = \frac{1-\sqrt{17}}{2}\end{array} \right.\)

Đồ thi 2 hàm số cắt nhau tại 3 điểm phân biệt \( \Rightarrow M + m = 0.\) \(A\left( {0;1} \right);B;C.\)

Suy ra \(B\left( {\frac{{1 + \sqrt {17} }}{2};\frac{{ - 3 + \sqrt {17} }}{2}} \right);C\left( {\frac{{1 - \sqrt {17} }}{2}; - \frac{{3 + \sqrt {17} }}{2}} \right)\)

Khi đó \(BC = \frac{{\sqrt {34} }}{2}.\)

Chọn B.