Phương pháp giải:

Khi cắt hình nón bởi một mặt phẳng đi qua đỉnh và cách tâm của đáy một khoảng bằng 2 ta được một tam giác cân.

Tính chiều cao và độ dài đáy của thiết diện để tính diện tích của thiết diện đó.

Lời giải chi tiết:

Gọi \(S\) là đỉnh, \(I\) là tâm đường tròn đáy của hình nón đã cho.

Mặt phẳng đi qua đỉnh của hình nón và cách tâm của đáy một khoảng bằng 2 cắt đường tròn đáy theo dây cung \(AB\)

Gọi \(M\) là trung điểm của \(AB\). Qua \(I\) kẻ \(IH \bot SM\left( {H \in SM} \right)\).

Ta có:

\(IA = IB = 3\) nên tam giác \(IAB\) cân tại \(I\) hay \(IM \bot AB\)     (1)

\(SI \bot \left( {IAB} \right) \Rightarrow SI \bot AB\)      (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(AB \bot \left( {SIM} \right) \Rightarrow AB \bot IH\) mà \(IH \bot SM\) nên \(IH \bot \left( {SAB} \right)\)

Khoảng cách từ tâm đến mp \(\left( {SAB} \right)\) bằng 2 nên \(IH = 2\)

Tam giác \(SIM\) vuông tại \(I,\) có đường cao \(IH\) nên:

\(\dfrac{1}{{I{H^2}}} = \dfrac{1}{{S{I^2}}} + \dfrac{1}{{I{M^2}}} \Leftrightarrow \dfrac{1}{{{2^2}}} = \dfrac{1}{{{4^2}}} + \dfrac{1}{{I{M^2}}} \Rightarrow IM = \dfrac{{4\sqrt 3 }}{3}\)

\(S{M^2} = S{I^2} + I{M^2} = {4^2} + {\left( {\dfrac{{4\sqrt 3 }}{3}} \right)^2} \Rightarrow SM = \dfrac{{8\sqrt 3 }}{3}\)

Tam giác \(IAM\) vuông tại \(M\) nên \(AM = \sqrt {I{A^2} - I{M^2}}  = \dfrac{{\sqrt {33} }}{3} \Rightarrow AB = \dfrac{{2\sqrt {33} }}{3}\)

Tam giác \(SAB\) có \(SM \bot AB\) nên diên tích tam giác \(SAB\) là:      

\({S_{\Delta SAB}} = \dfrac{1}{2}SM.AB = \dfrac{1}{2}.\dfrac{{8\sqrt 3 }}{3}.\dfrac{{2\sqrt {33} }}{3} = \dfrac{{8\sqrt {11} }}{3}\)

Vậy diện tích thiết diện bằng \(\dfrac{{8\sqrt {11} }}{3}\) (đvdt)

Chọn D.