Phương pháp giải:

\(M\left( {a;b} \right)\) là điểm cực tiểu của hàm số \(y = f\left( x \right)\)  thì \(\left\{ \begin{array}{l}f'\left( a \right) = 0\\f\left( a \right) = b\end{array} \right.\) và \(f'\left( x \right)\) đổi dấu từ âm\(\left(  -  \right)\)sang dương\(\left(  +  \right)\) khi đi qua điểm \(x = a\).

Lời giải chi tiết:

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\)

Ta có:\(f'\left( x \right) = 6{x^2} + 2bx + c\)

\(M\left( {1; - 6} \right)\) là điểm cực tiểu của hàm số đã cho nên ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}f'\left( 1 \right) = 0\\f\left( 1 \right) =  - 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}6 + 2b + c = 0\\2 + b + c + 1 =  - 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2b + c =  - 6\\b + c =  - 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 3\\c =  - 12\end{array} \right.\)

Suy ra

\(\begin{array}{l}f'\left( x \right) = 6{x^2} + 6x - 12 = 6\left( {x - 1} \right)\left( {x + 2} \right)\\ \Rightarrow f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x =  - 2\end{array} \right.\\x =  - 2 \Rightarrow f\left( { - 2} \right) = 21\end{array}\)

Do đó \(N\left( { - 2;21} \right)\) là điểm cực đại của đồ thị hàm số đã cho.

Chọn D.