Phương pháp giải:

- Phương trình tiếp tuyến của hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại \(x = a\) là: \(d:y = f'\left( a \right)\left( {x - a} \right) + f\left( a \right)\).

- Tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) song song với đường thẳng \(y = ax + b\) thì \(f'\left( x \right) = a\),với \(x \in D\).

- Thay giá trị của \(x\) vào phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) để tìm tiếp tuyến đó.

Lời giải chi tiết:

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\}\)

\(f'\left( x \right) = \dfrac{{2\left( {x + 1} \right) - \left( {2x - 1} \right)}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = \dfrac{3}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\)

Tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(\left( C \right):y = f\left( x \right) = \dfrac{{2x - 1}}{{x + 1}}\) song song với đường thẳng \(y = 3x - 1\) nên ta có :

\(\dfrac{3}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = 3 \Leftrightarrow {\left( {x + 1} \right)^2} = 1\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + 1 = 1\\x + 1 =  - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x =  - 2\end{array} \right.\)

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại \(x = 0\) là \(y = f'\left( 0 \right)\left( {x - 0} \right) + f\left( 0 \right) = 3x - 1\) (Loại do trùng với đường thẳng \(y = 3x - 1\)).

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại \(x =  - 2\) là \(y = f'\left( { - 2} \right)\left( {x + 2} \right) + f\left( { - 2} \right) = 3x + 11\) (Thỏa mãn).

Vậy có 1 tiếp tuyến với đồ thị hàm số thỏa mãn đề bài.

Chọn D.