Phương pháp giải:

- Khi quay tam giác vuông \(IOM\) quanh cạnh góc vuông \(OI\) ta được một hình nón có chiều cao bằng độ dài cạnh \(OI\) và bán kính đáy là cạnh \(IM\), đường sinh là cạnh huyền \(OM\).

- Diện tích toàn phần của hình nón có độ dài đường sinh bằng \(l\) và bán kính đáy bằng \(r\) là \({S_{tp}} = \pi rl + \pi {r^2}\).

Lời giải chi tiết:

Khi quay tam giác vuông \(IOM\) quanh cạnh góc vuông \(OI\) ta được một hình nón có chiều cao bằng độ dài cạnh \(OI\) và bán kính đáy là cạnh \(IM\), đường sinh là cạnh huyền \(OM\) (như hình vẽ dưới đây)

Tam giác \(OIM\) vuông tại \(I\) có \(\widehat {IOM} = 30^\circ ;IM = a\) nên ta có:

\(r = IM = a;\)     \(l = OM = \dfrac{{IM}}{{\sin IOM}} = \dfrac{a}{{\sin 30}} = 2a\)

Do đó diện tích toàn phần của hình nón tạo thành là:

      \({S_{tp}} = \pi rl + \pi {r^2} = \pi .a.2a + \pi {a^2} = 3\pi {a^2}\)

Chọn D.