Phương pháp giải:

Hàm số có cực đại tại \(x = a\) thì \(f'\left( a \right) = 0\) và \(f'\left( x \right)\) đổi dấu từ \(\left(  +  \right)\) sang \(\left(  -  \right)\) khi đi qua điểm \(x = a\).

Lời giải chi tiết:

TXĐ :  \(D = \mathbb{R}\)

Ta có: \(f'\left( x \right) = 3{x^2} - 4mx + {m^2}\).

\(x = 1\) là điểm cực đại của hàm số đã cho nên

\(\begin{array}{l}f'\left( 1 \right) = 0\\ \Leftrightarrow {3.1^2} - 4m.1 + {m^2} = 0 \Leftrightarrow {m^2} - 4m + 3 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {m - 1} \right)\left( {m - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\\m = 3\end{array} \right.\end{array}\)

Với \(m = 1\) ta có : 

\(\begin{array}{l}f'\left( x \right) = 3{x^2} - 4x + 1 = \left( {3x - 1} \right)\left( {x - 1} \right)\\f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = \dfrac{1}{3}\end{array} \right.\end{array}\)

Phương trình này nhận \(x = 1\) là điểm cực tiểu (không thỏa mãn)

Với \(m = 3\) ta có :

\(\begin{array}{l}f'\left( x \right) = 3{x^2} - 12x + 9 = 3\left( {x - 1} \right)\left( {x - 3} \right)\\f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 3\end{array} \right.\end{array}\)

Phương trình này nhận \(x = 1\) là điểm cực đại nên \(m = 3\) thỏa mãn

Chọn A.