Phương pháp giải:

Tìm GTLN và GTNN của hàm số \(y = f\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\)

Bước 1: Tìm tập xác định \(D\) , \(\left[ {a;b} \right] \subset D\)

Bước 2: Tính \(f'\left( x \right)\), giải phương trình \(f'\left( x \right) = 0\) tìm các nghiệm \({x_i}\) và các giá trị \({x_J}\) làm cho \(f'\left( x \right)\) không xác định (\({x_i};{x_j} \in \left[ {a;b} \right]\))

Bước 3: Tính \(f\left( a \right);f\left( b \right);f\left( {{x_i}} \right);f\left( {{x_j}} \right)\)

Khi đó: \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {a;b} \right]} f\left( x \right) = \max \left\{ {f\left( a \right);f\left( b \right);f\left( {{x_i}} \right);f\left( {{x_J}} \right)} \right\}\)

Và \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {a;b} \right]} f\left( x \right) = \min \left\{ {f\left( a \right);f\left( b \right);f\left( {{x_i}} \right);f\left( {{x_J}} \right)} \right\}\)

Lời giải chi tiết:

Ta có \(y' = 3{x^2} - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1 \in \left[ {0;2} \right]\\x =  - 1 \notin \left[ {0;2} \right]\end{array} \right.\)

Xét \(f\left( 0 \right) = 1,f\left( 1 \right) =  - 1,f\left( 2 \right) = 3\)

Suy ra \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;2} \right]} f\left( x \right) = f\left( 2 \right) = 3,\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;2} \right]} f\left( x \right) = f\left( 1 \right) =  - 1\)

Nên tổng cần tìm là \(3 + \left( { - 1} \right) = 2.\)

Chọn C.