Phương pháp giải:

- Tính \(f'\left( x \right)\), từ đó suy ra tính đơn điệu của hàm số.

- Sử dụng định nghĩa: Nếu hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến trên \(\left( {a;b} \right)\) thì \(f\left( a \right) < f\left( x \right) < f\left( b \right)\,\,\forall x \in \left( {a;b} \right)\).

Lời giải chi tiết:

Ta có \(f'\left( x \right) = 3{x^2} + {m^2} + 1 > 0\,\,\forall x \in \mathbb{R}\).

Do đó hàm số đã cho đồng biến trên \(\mathbb{R} \Rightarrow \) Hàm số cũng đồng biến trên \(\left( {0;2} \right)\).

\( \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ {0;2} \right]} f\left( x \right) = f\left( 0 \right) = {m^2} - 2\).

Theo bài ra ta có: \({m^2} - 2 = 2 \Leftrightarrow m =  \pm 2\).

Mà \(m\) là số thực dương. Vậy \(m = 2\).

Chọn A.