Phương pháp giải:

Thể tích khối nón chiều cao \(h\), bán kính đáy \(r\) là \(V = \frac{1}{3}\pi {r^2}h\).

Lời giải chi tiết:

Gọi \(O\) là trung điểm của \(A'C\), khi đó \(O\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối hộp chữ nhật \(ABCD.A'B'C'D'\).

\( \Rightarrow OA' = OA = OB = OC = OD \Rightarrow O\) cũng là tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp \(A'ABCD\).

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông \(ABC\) ta có:

\(AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}}  = \sqrt {{{\left( {3a} \right)}^2} + {{\left( {4a} \right)}^2}}  = 5a\).

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông \(A'AC\) có:

\(A'C = \sqrt {AA{'^2} + A{C^2}}  = \sqrt {{{\left( {5a} \right)}^2} + {{\left( {5a} \right)}^2}}  = 5a\sqrt 2 \).

Vậy bán kính mặt cầu ngoại tiếp chóp \(A'.ABCD\) là \(R = \frac{1}{2}A'C = \frac{{5a\sqrt 2 }}{2}\).

Chọn C.