Phương pháp giải:

Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là điểm cách đều tất cả các đỉnh của hình chóp.

Lời giải chi tiết:

Gọi \(O = AC \cap BD \Rightarrow OA = OB = OC = OC\).

Xét tam giác vuông \(SAC\) có trung tuyến \(SO \Rightarrow OS = \frac{1}{2}AC = OA = OC\).

\( \Rightarrow OA = OB = OC = OD = OS\).

\( \Rightarrow O\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp \(S.ABC\) và bán kính khối cầu là \(R = OA\).

Vì \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(2a\) nên \(AC = 2a\sqrt 2  \Rightarrow OA = a\sqrt 2 \).

Vậy \(R = a\sqrt 2 \).

Chọn B.