Phương pháp giải:

- Tính \(SA\) dựa vào thể tích của khối chóp \({V_{S.ABC}}\).

- Tìm góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) và \(\left( {ABC} \right)\) để tìm \(\tan \alpha \).

Lời giải chi tiết:

Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\). Do \(\Delta ABC\) là tam giác đều nên \(AM \bot BC\) .

Lại có \(SA \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SA \bot BC\).

Suy ra \(BC \bot \left( {SAM} \right) \Rightarrow BC \bot SM\)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SBC} \right) \cap \left( {ABC} \right) = BC\\\left( {SBC} \right) \supset SM \bot BC\\\left( {ABC} \right) \supset AM \bot BC\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \alpha  = \angle \left( {\left( {SBC} \right);\left( {ABC} \right)} \right) = \angle \left( {SM;AM} \right) = \angle SMA\)

Tam giác \(ABC\) là tam giác đều cạnh \(2a\) nên \({S_{ABC}} = \dfrac{{{{\left( {2a} \right)}^2}\sqrt 3 }}{4} = {a^2}\sqrt 3 \).

Ta có: \({V_{S.ABC}} = \dfrac{1}{3}SA.{S_{ABC}} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{2}\).

\( \Leftrightarrow \dfrac{1}{3}SA.{a^2}\sqrt 3  = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{2}SA = \dfrac{{3a}}{2}\)

Lại có: \(AM = \dfrac{{2a.\sqrt 3 }}{2} = a\sqrt 3 \) (Do tam giác \(ABC\) đều cạnh \(2a\)).

Xét tam giác vuông \(SAM\) có: \(\tan \alpha  = \tan \angle SMA = \dfrac{{SA}}{{AM}} = \dfrac{{\dfrac{{3a}}{2}}}{{\sqrt 3 a}} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\).

Chọn C.