Phương pháp giải:

- Tính \(g'\left( x \right)\) .

- Hàm số đã cho đồng biến trên \(\left( {7;8} \right)\) \( \Leftrightarrow g'\left( x \right) \ge 0,\forall x \in \left( {7;8} \right)\).

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(g'\left( x \right) = f'\left( {x - \dfrac{m}{3}} \right) - \left( {x - \dfrac{m}{3} - 1} \right)\)

Đặt \(t = x - \dfrac{m}{3}\). Với \(x \in \left( {7;8} \right)\) thì \(t \in \left( {7 - \dfrac{m}{3};8 - \dfrac{m}{3}} \right)\)

Hàm số đã cho đồng biến trên \(\left( {7;8} \right)\) \( \Leftrightarrow \) \(g'\left( x \right) \ge 0,\forall x \in \left( {7;8} \right)\)

\( \Leftrightarrow f'\left( {x - \dfrac{m}{3}} \right) \ge x - \dfrac{m}{3} - 1\) , \(\forall x \in \left( {7;8} \right)\)

\( \Leftrightarrow f'\left( t \right) \ge t - 1,\forall t \in \left( {7 - \dfrac{m}{3};8 - \dfrac{m}{3}} \right)\)

Vẽ đường thẳng \(y = x - 1\) trên cùng hệ tọa độ với đồ thị hàm số \(y = f'\left( x \right)\) ta thấy \(f'\left( t \right) \ge t - 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - 1 \le t \le 1\\t \ge 3\end{array} \right.\)

Vậy \(f'\left( t \right) \ge t - 1,\forall t \in \left( {7 - \dfrac{m}{3};8 - \dfrac{m}{3}} \right)\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - 1 \le 7 - \dfrac{m}{3} < 8 - \dfrac{m}{3} \le 1\\3 \le 7 - \dfrac{m}{3} < 8 - \dfrac{m}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}21 \le m \le 24\\m \le 12\end{array} \right.\)

Mà \(m\) nguyên dương nên \(m \in \left\{ {1;2;...;12;21;22;23;24} \right\}\).

Vậy tổng là \(1 + 2 + 3 + ... + 12 + 21 + 22 + 23 + 24 = 168\).

Chọn C.