Phương pháp giải:

- Tính \(y'\) và tìm nghiệm của \(y' = 0\).

- Tìm tọa độ các điểm cực trị và tìm điều kiện để hai điểm đó đối xứng nhau qua \(d\).

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(y' = 3{x^2} - 6mx = 3x\left( {x - 2m} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2m\end{array} \right.\)

Để hàm số có hai điểm cực trị thì \(2m \ne 0 \Leftrightarrow m \ne 0\).

Với \(x = 0\) thì \(y = 4{m^3}\) ta được điểm \(A\left( {0;4{m^3}} \right) \in Oy\)

Với \(x = 2m\) thì \(y = 0\) ta được điểm \(B\left( {2m;0} \right) \in Ox\)

Hai điểm \(A,B\) đối xứng nhau qua \(d:y = x\) \( \Leftrightarrow AB \bot d\)

\( \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {{u_d}}  = 0 \Leftrightarrow 2m.1 + \left( { - 4{m^3}} \right).1 = 0\) \( \Leftrightarrow m - 2{m^3} = 0\) \( \Leftrightarrow m\left( {1 - 2{m^2}} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\left( {loai} \right)\\m =  \pm \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\end{array} \right.\)

Vậy \(m \in \left\{ { \pm \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}} \right\}\) nên tổng các giá trị của \(m\) là \(\dfrac{1}{{\sqrt 2 }} - \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} = 0\).

Chọn D.