Phương pháp giải:

Tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại điểm có hoành độ \(x = {x_0}\) là \(k = y'\left( {{x_0}} \right)\).

Lời giải chi tiết:

\(y = {x^4} - 2{x^2} \Rightarrow y' = 4{x^3} - 4x\).

Giả sử các tiếp tuyến tại \(A,\,\,B,\,\,C\) có hệ số góc cùng bằng \(k \Rightarrow 4{x^3} - 4x = k\,\,\,\left( 1 \right)\).

Ta có: \({x^4} - 2{x^2} = \frac{1}{4}x\left( {4{x^3} - 4x} \right) - {x^2} = \frac{1}{4}xk - {x^2}\).

Do đó ba điểm \(A,\,\,B,\,\,C\) thuộc đồ thị hàm số \(y =  - {x^2} + \frac{1}{4}kx\,\,\left( P \right)\).

Theo giả thiết \(\left( P \right)\) có đỉnh \(I\left( {\frac{1}{6};{y_0}} \right)\) nên \(\frac{{ - \frac{1}{4}k}}{{2\left( { - 1} \right)}} = \frac{1}{6} \Leftrightarrow  - \frac{1}{4}k =  - \frac{1}{3} \Leftrightarrow k = \frac{4}{3}\).

Khi đó \(\left( P \right):\,\,y =  - {x^2} + \frac{1}{3}x\).

Vậy \({y_0} = y\left( {\frac{1}{6}} \right) =  - {\left( {\frac{1}{6}} \right)^2} + \frac{1}{3}.\frac{1}{6} = \frac{1}{{36}}\).

Chọn B.