Phương pháp giải:

Ta thực hiện theo 2 bước sau:

Bước 1: Rút gọn biểu thức

Bước 2: Áp dụng \(a \vdots b \Rightarrow ka \vdots b\,\)(với \(\forall k \in \mathbb{Z}\))

Lời giải chi tiết:

a) Với \(a \in \mathbb{Z}\) ta có:

\(M = a\left( {a + 2} \right) - a\left( {a - 5} \right) - 7\)

\(\,\,\,\,\,\,\, = \left( {a.a + a.2} \right) - \left( {a.a - a.5} \right) - 7\)

\(\,\,\,\,\,\,\, = \left( {{a^2} + 2a} \right) - \left( {{a^2} - 5a} \right) - 7\)

\(\,\,\,\,\,\,\, = {a^2} + 2a - {a^2} + 5a - 7\)

\(\,\,\,\,\,\,\, = \left( {{a^2} - {a^2}} \right) + \left( {2a + 5a} \right) - 7\)

\(\,\,\,\,\,\,\, = 7a - 7\)

\(\,\,\,\,\,\,\, = 7\left( {a - 1} \right)\)

Vì \(7 \vdots 7 \Rightarrow 7\left( {a - 1} \right) \vdots 7 \Rightarrow M \vdots 7 \Rightarrow M\)là bội của \(7\).

b) Để chứng minh \(N = \left( {a - 2} \right)\left( {a + 3} \right) - \left( {a - 3} \right)\left( {a + 2} \right)\) là số chẵn, ta chứng minh \(N \vdots 2\) với \(a \in \mathbb{Z}\).

\(N = \left( {a - 2} \right)\left( {a + 3} \right) - \left( {a - 3} \right)\left( {a + 2} \right)\)

\(\,\,\,\,\,\, = \left[ {a\left( {a + 3} \right) - 2\left( {a + 3} \right)} \right] - \left[ {a\left( {a + 2} \right) - 3\left( {a + 2} \right)} \right]\)

\(\,\,\,\,\,\, = \left[ {\left( {{a^2} + 3a} \right) - \left( {2a + 6} \right)} \right] - \left[ {\left( {{a^2} + 2a} \right) - \left( {3a + 6} \right)} \right]\)

\(\,\,\,\,\,\, = \left( {{a^2} + 3a - 2a - 6} \right) - \left( {{a^2} + 2a - 3a - 6} \right)\)

\(\,\,\,\,\,\, = {a^2} + 3a - 2a - 6 - {a^2} - 2a + 3a + 6\)

\(\,\,\,\,\,\, = \left( {{a^2} - {a^2}} \right) + \left( {3a - 2a - 2a + 3a} \right) + \left( {6 - 6} \right)\)

\(\,\,\,\,\,\, = 2a\)

Vì \(2 \vdots 2 \Rightarrow 2a \vdots 2 \Rightarrow N \vdots 2\) suy ra \(N\) là số chẵn.