Phương pháp giải:

- Diện tích toàn phần của thùng phi là \(S = 2\pi {r^2} + 2\pi rh\).

- Thể tích của thùng phi là \(V = \pi {r^2}h\).

- Kết hợp bất đẳng thức AM – GM để giải bài toán.

Lời giải chi tiết:

Gọi \(r\) là bán kính đáy, \(h\) là chiều cao của thùng phi.

Ta có:

Diện tích toàn thần của thùng phi là \(S = 2\pi {r^2} + 2\pi rh\).

Thể tích của thùng  phi là :  \(V = \pi {r^2}h\).

Chi phí trung bình cho \(1{m^2}\) thép là \(350000\)đ mà chi phí không được quá \(6594000\) đ nên \(S \le 188,4\left( {{m^2}} \right)\)

Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có :

\(\begin{array}{l}18,84 \ge S = 2\pi {r^2} + 2\pi rh = \pi \left( {2{r^2} + rh + rh} \right) \ge \pi .3\sqrt[3]{{2{r^2}.rh.rh}} = 3\pi .\sqrt[3]{{2{r^4}{h^2}}}\\ \Rightarrow \sqrt[3]{{2{r^4}{h^2}}} \le \dfrac{{18,84}}{{3\pi }} = 2\\ \Leftrightarrow 2{r^4}{h^2} \le 8\\ \Leftrightarrow {r^4}.{h^2}.{\pi ^2} \le 4{\pi ^2}\\ \Leftrightarrow {V^2} \le 4{\pi ^2}\\ \Rightarrow V \le 2\pi  = 6,28\left( {{m^3}} \right)\end{array}\)

Dấu ‘=’ xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}S = 18,84\\2{r^2} = rh\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}r = 1\left( m \right)\\h = 2\left( m \right)\end{array} \right.\).

Vậy có thể làm được thùng phi chứa được nhiều nhất là \(6,28\) tấn nước.

Chọn B.