Câu hỏi
Cho tứ diện \(ABCD\) có \(AB = AC = AD = 5,\,\,BC = 2;\,\,BD = 3;\,\,CD = 4\). Tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện \(ABCD\)?
- A \(\dfrac{{25\sqrt {25} }}{{2\sqrt {311} }}\)
- B \(\dfrac{{25\sqrt {15} }}{{\sqrt {311} }}\)
- C \(\dfrac{{25}}{6}\)
- D \(\dfrac{{25}}{{\sqrt {311} }}\)
Phương pháp giải:
- Tìm tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện \(ABCD\).
- Khi đó bán kính của mặt cầu ngoại tiếp của tứ diện \(ABCD\) là \(R = IA = IB = IC = ID\).
Lời giải chi tiết:
Gọi \(O\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(BCD\), có bán kính là \(r\).
Do \(AB = AC = AD = 5\) nên chân đường cao hạ từ \(A\) xuống mặt phẳng \(\left( {BCD} \right)\) trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(BCD\)
Suy ra \(AO \bot \left( {BCD} \right).\)
Gọi \(I\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện \(ABCD\) thì \(I\) nằm trên \(AO\).
Tam giác \(BCD\) có \(BC = 2;\)\(BD = 3;\)\(CD = 4\) nên \(p = \dfrac{{BC + BD + CD}}{2} = \dfrac{9}{2}\).
Khi đó diện tích tam giác \(BCD\)được tính bởi công thức:
\({S_{BCD}} = \sqrt {p\left( {p - BC} \right)\left( {p - BD} \right)\left( {p - CD} \right)} = \dfrac{{3\sqrt {15} }}{4}\)
Mặt khác, diện tích tam giác \(BCD\) còn tính bởi \({S_{BCD}} = \dfrac{{BC.BD.CD}}{{4r}} \Rightarrow r = \dfrac{{8\sqrt {15} }}{{15}}\) (\(r\) là bán kính đường tròn ngoại tiếp). Suy ra \(OB = OC = OD = \dfrac{{8\sqrt {15} }}{{15}}\).
Đặt \(IA = IB = IC = ID = R\), ta có: \(AO \bot \left( {BCD} \right)\) nên
\(\begin{array}{l}AO = \sqrt {A{C^2} - O{C^2}} = \sqrt {\dfrac{{311}}{{15}}} \\O{I^2} + O{C^2} = I{C^2}\\ \Leftrightarrow {\left( {OA - IA} \right)^2} + O{C^2} = I{C^2}\\ \Leftrightarrow {\left( {\sqrt {\dfrac{{311}}{{15}}} - R} \right)^2} + {\left( {\dfrac{{8\sqrt {15} }}{{15}}} \right)^2} = {R^2}\\ \Rightarrow R = \dfrac{{25\sqrt {15} }}{{2\sqrt {311} }}\end{array}\)
Vậy bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện \(ABCD\) bằng \(\dfrac{{25\sqrt {15} }}{{2\sqrt {311} }}\).
Chọn A.