Phương pháp giải:

- Tìm chân đường cao hạ từ S xuống mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\).

- Thể tích khối chóp được tính bằng công thức: \({V_{S.ABCD}} = \dfrac{1}{3}h.{S_{ABCD}}.\)

Lời giải chi tiết:

Trong \(\left( {SAB} \right)\), từ \(S\) kẻ \(SH \bot AB\,\,\,\left( {H \in AB} \right).\)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\\\left( {SAB} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = AB\\SH \bot AB\end{array} \right. \Rightarrow SH \bot \left( {ABCD} \right)\).

Xét \(\Delta SAB\) có: \(S{A^2} + S{B^2} = {a^2} + {\left( {a\sqrt 3 } \right)^2} = 4{a^2} = {\left( {2a} \right)^2} = A{B^2} \Rightarrow \Delta SAB\) vuông tại \(S\) (Định lí Pytago đảo).

Do đó \(SH = \dfrac{{SA.SB}}{{AB}} = \dfrac{{\sqrt 3 {a^2}}}{{2a}} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}a\) (Hệ thức lượng trong tam giác vuông).

Vậy thể tích của khối chóp \(S.ABCD\) là

\({V_{S.ABCD}} = \dfrac{1}{3}SH.A{B^2} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}a.{\left( {2a} \right)^2} = \dfrac{{2\sqrt 3 {a^3}}}{3}\).

Chọn D.