Phương pháp giải:

- Viết phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị \(\left( C \right)\) và đường thẳng \(d\).

- Tìm điều kiện để phương trình hoành độ có 3 nghiệm phân biệt.

- Khoảng cách từ \(A\left( {a;b} \right)\) đến trục hoành chính là \(\left| b \right|\).

Lời giải chi tiết:

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\).

\(\left( C \right)\): \(y = {x^3} - 6{x^2} + 10mx + {m^2} - 18m + 22\).

\(\left( d \right):\,\,y = mx + {m^2} + 6\).

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị \(\left( C \right)\) và đường thẳng \(d\) là:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,{x^3} - 6{x^2} + 10mx + {m^2} - 18m + 22 = mx + {m^2} + 6\\ \Leftrightarrow {x^3} - 6{x^2} + 9mx - 18m + 16 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {{x^3} - 2{x^2}} \right) - \left( {4{x^2} - 16} \right) + \left( {9mx - 18m} \right) = 0\\ \Leftrightarrow {x^2}\left( {x - 2} \right) - \left( {x - 2} \right)\left( {4x + 8} \right) + 9m\left( {x - 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left( {{x^2} - 4x + 9m - 8} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\{x^2} - 4x + 9m - 8 = 0\,\,\,\,\left( 1 \right)\end{array} \right.\end{array}\)   

Để \(d\) cắt đồ thị  \(\left( C \right)\) tại 3 điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình hoành độ giao điểm có 3 nghiệm phân biệt hay pt (1) có 2 nghiệm phân biệt khác 2

Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}\Delta ' > 0\\{2^2} - 4.2 + 9m - 8 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4 - 9m + 8 > 0\\9m \ne 12\end{array} \right. \Leftrightarrow m < \dfrac{4}{3}\).

Với \(m < \dfrac{4}{3}\) thì \(d\)cắt đồ thị \(\left( C \right)\) tại 3 điểm phân biệt là \(M\left( {2;{m^2} + 2m + 6} \right)\), \(N\left( {{x_1};m{x_1} + {m^2} + 6} \right)\) và \(P\left( {{x_2};m{x_2} + {m^2} + 6} \right)\)   trong đó \({x_1};{x_2}\) là 2 nghiệm của phương trình (1).

Áp dụng định lí Vi – et ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 4\\{x_1}.{x_2} = 9m - 8\end{array} \right.\).

Tổng khoảng cách từ 3 điểm \(M\), \(N,\)\(P\) đến trục hoành là:

                 \(\begin{array}{l}A = \left| {{m^2} + 2m + 6} \right| + \left| {m{x_1} + {m^2} + 6} \right| + \left| {m{x_2} + {m^2} + 6} \right|\\ \Leftrightarrow A = {m^2} + 2m + 6 + \left| {m{x_1} + {m^2} + 6} \right| + \left| {m{x_2} + {m^2} + 6} \right|\end{array}\)

Áp dụng BĐT về dấu giá trị tuyệt đối ta có :

                \(\begin{array}{l}A \ge \left( {{m^2} + 2m + 6} \right) + \left| {m{x_1} + {m^2} + 6 + m{x_2} + {m^2} + 6} \right|\\ \Leftrightarrow A \ge \left( {{m^2} + 2m + 6} \right) + \left| {2{m^2} + m\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 12} \right|\\ \Leftrightarrow A \ge \left( {{m^2} + 2m + 6} \right) + 2\left( {{m^2} + 2m + 6} \right) = 3\left( {{m^2} + 2m + 6} \right) = 3{\left( {m + 1} \right)^2} + 15 \ge 15\end{array}\)

Dấu ‘=’ xảy ra khi và chỉ khi  \(m + 1 = 0 \Leftrightarrow m =  - 1\)

Vậy tổng khoảng cách nhỏ nhất từ \(M,\)\(N,\)\(P\) đến trục hoành bằng 15

Chọn C.