Phương pháp giải:

Hàm số \(y = \)\(\left| {f\left( x \right)} \right| = \left| {a{x^3} + b{x^2} + cx + d} \right|\) có 5 điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình \(y = f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d = 0\) có 3 nghiệm phân biệt.

Minh họa :

Lời giải chi tiết:

Hàm số \(y = \left| {{x^3} - \left( {2m + 1} \right){x^2} + mx + m} \right|\) có 5 điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình \(y = {x^3} - \left( {2m + 1} \right){x^2} + mx + m = 0\) có 3 nghiệm phân biệt.

Ta có :

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,f\left( x \right) = 0\\ \Leftrightarrow {x^3} - \left( {2m + 1} \right){x^2} + mx + m = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} - 2mx - m} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\{x^2} - 2mx - m = 0\,\,\left( 1 \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Phương trình \(f\left( x \right) = 0\) có 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi pt\(\left( 1 \right)\) có 2 nghiệm phân biệt khác 1.

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ' > 0\\{1^2} - 2m.1 - m \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} + m > 0\\m \ne \dfrac{1}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m > 0\\m <  - 1\end{array} \right.\\m \ne \dfrac{1}{3}\end{array} \right.\)      \(\left( 2 \right)\)

Mà \(m \in \mathbb{Z}\) và \(m \in \left[ { - 2018;2018} \right]\), kết hợp với (2) ta được \(m = \left[ { - 2018; - 2} \right] \cup \left[ {1;2018} \right],m \in \mathbb{Z}\)

Vậy tổng các phần tử của tập hợp \(X\) là:

\( - \left( {2018 + 2017 + .... + 3 + 2} \right) + \left( {1 + 2 + 3 + .... + 2018} \right) = 1\)

Chọn A.