Phương pháp giải:

Hàm số \(y = \dfrac{{a{x^2} + bx + c}}{{mx + n}}\) có tiệm cận đứng là \(x =  - \dfrac{n}{m}\) khi và chỉ khi phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\) không có nghiệm bằng \( - \dfrac{n}{m}.\)

Lời giải chi tiết:

Hàm số \(y = \dfrac{{{x^2} - mx - 2{m^2}}}{{x - 2}}\) có đường tiệm cận đứng duy nhất là \(x = 2\) khi và chỉ khi \(x = 2\)không là nghiệm của phương trình \({x^2} - mx - 2{m^2} = 0\).

\( \Rightarrow {2^2} - 2.m - 2{m^2} \ne 0 \Leftrightarrow {m^2} + m - 2 \ne 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 1\\m \ne  - 2\end{array} \right.\)

Vậy \(\left\{ \begin{array}{l}m \ne 1\\m \ne  - 2\end{array} \right.\) thì hàm số đã cho có tiệm cận đứng.

Chọn C.