Câu hỏi
Cho lăng trụ \(ABCD.A'B'C'D'\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a\), cạnh bên \(AA' = a,\) hình chiếu vuông góc của \(A'\) trên mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) trùng với trung điểm \(H\) của \(AB\). Tính theo \(a\) thể tích \(V\)của khối lăng trụ đã cho?
- A \(V = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6}\)
- B \(V = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{2}\)
- C \(V = {a^3}\)
- D \(V = \dfrac{{{a^3}}}{3}\)
Phương pháp giải:
- Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông tính \(A'H\).
- Thể tích của khối lăng trụ đã cho được tính bởi công thức : \({V_{ABCD.A'B'C'D'}} = A'H.{S_{ABCD}}.\)
Lời giải chi tiết:
Ta có: \(A'H \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow A'H \bot HA \Rightarrow \Delta A'HA\) vuông tại \(H\) và \(AH = \dfrac{1}{2}AH = \dfrac{a}{2}\).
Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông \(A'HA\) có:
\(A'{H^2}\sqrt {AA{'^2} - H{A^2}} = \sqrt {{a^2} - \dfrac{{{a^2}}}{4}} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}.\)
Vậy \({V_{ABCD.A'B'C'D'}} = A'H.{S_{ABCD}} = \dfrac{{\sqrt 3 a}}{2}.{a^2} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{2}.\)
Chọn B.
Câu hỏi trước
