Phương pháp giải:

- Cắt hình nón bởi một mặt phẳng đi qua trục ta được một tam giác cân có 2 cạnh bên là đường sinh của hình nón và cạnh đáy là đường kính của đường tròn đáy.

- Thể tích của hình nón được tính bằng công thức: \(V = \dfrac{1}{3}\pi {R^2}h.\)

Lời giải chi tiết:

Gọi \(h\) là chiều cao, \(l\) là đường sinh và \(R\)là bán kính đường tròn đáy của hình nón.

Theo giả thiết, cắt hình nón bởi một mặt phẳng đi qua trục ta được một thiết diện là một tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng \(l\) và cạnh huyền là \(2R.\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}2R = a\sqrt 6  \Leftrightarrow R = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{2}\\{l^2} + {l^2} = {\left( {2R} \right)^2} \Leftrightarrow 2{l^2} = 6{a^2} \Rightarrow l = \sqrt 3 a\end{array}\)

\({h^2} + {R^2} = {l^2} \Leftrightarrow {h^2} + {\left( {\dfrac{{a\sqrt 6 }}{2}} \right)^2} = {\left( {\sqrt 3 a} \right)^2} \Leftrightarrow h = \dfrac{{\sqrt 6 a}}{2}.\)

Vậy thể tích của khối nón đó là: \(V = \dfrac{1}{3}\pi {R^2}h = \dfrac{{\pi\sqrt 6 {a^3}}}{4}.\)

Chọn A.