Phương pháp giải:

- Tìm TXĐ.

- Tính \(y'\).

- Để hàm số nghịch biến trên khoảng \(D\) thì \(y' < 0\) với \(\forall x \in D.\)

- Cô lập \(m\), sử dụng phương pháp hàm số.

Lời giải chi tiết:

Hàm số đã cho xác định và liên tục trên khoảng \(D = \left( { - \dfrac{\pi }{2};\dfrac{\pi }{2}} \right)\)

Ta có: \(y' = \left( {{m^2} - 3} \right).\cos x - \dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}}\)

Để hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng \(D\) thì \(y' \le 0\,\,\forall x \in D\).

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {{m^2} - 3} \right).\cos x - \dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}} \le 0\,\,\forall x \in D\\ \Leftrightarrow {m^2} - 3 \le \dfrac{1}{{{{\cos }^3}x}} = f\left( x \right)\,\,\forall x \in D\,\,\left( {do\,\,\cos x > 0\,\,\forall x \in D} \right)\end{array}\)

Với \(x \in \left( { - \dfrac{\pi }{2};\dfrac{\pi }{2}} \right) \Rightarrow 0 < \cos x \le 1 \Leftrightarrow 0 < {\cos ^3}x \le 1 \Leftrightarrow \dfrac{1}{{{{\cos }^3}x}} \ge 1\)

\( \Rightarrow \mathop {\min }\limits_D f\left( x \right) = 1 \Rightarrow {m^2} - 3 \le 1 \Leftrightarrow  - 2 \le m \le 2.\)

Mà \(m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ { - 2; - 1;0;1;2} \right\}\).

Vậy có 5 giá trị của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn A.