Câu hỏi
Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy là tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\), \(AB = a,\,\,AC = a\sqrt 3 \). Biết \(\Delta SAB\)là tam giác đều và thuộc mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\). Tính thể tích khối chóp \(S.ABC\).
- A \(\dfrac{{{a^3}}}{4}\)
- B \(\dfrac{{{a^3}\sqrt 6 }}{{12}}\)
- C \(\dfrac{{{a^3}\sqrt 6 }}{4}\)
- D \(\dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{6}\)
Phương pháp giải:
- Xác định chân đường cao hạ từ S xuống mặt phẳng đáy
- Dựa vào các dữ kiện của bài toán để tính độ dài đường cao
- Tính thể tích khối chóp theo công thức \(V = \dfrac{1}{3}.h.{S_{ABC}}\)
Lời giải chi tiết:
Tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\) nên \(B{C^2} = \sqrt {A{C^2} - A{B^2}} = \sqrt 2 a.\)
\( \Rightarrow {S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}AB.BC = \dfrac{1}{2}.a.a\sqrt 2 = \dfrac{{{a^2}\sqrt 2 }}{2}\).
Gọi \(H\) là trung điểm của \(AB\)\( \Rightarrow SH \bot AB\) ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABC} \right)\\\left( {SAB} \right) \cap \left( {ABC} \right) = AB\\\left( {SAB} \right) \supset SH \bot AB\end{array} \right. \Rightarrow SH \bot \left( {ABC} \right)\).
Tam giác \(SAB\) đều cạnh \(a \Rightarrow SH = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\).
Vậy \({V_{S.ABC}} = \dfrac{1}{3}SH.{S_{ABC}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}.\dfrac{{{a^2}\sqrt 2 }}{2} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 6 }}{{12}}.\)
Chọn B.