Phương pháp giải:

- Xác định chân đường cao hạ từ S xuống mặt phẳng đáy

- Dựa vào các dữ kiện của bài toán để tính độ dài đường cao

- Tính thể tích khối chóp theo công thức \(V = \dfrac{1}{3}.h.{S_{ABC}}\)

Lời giải chi tiết:

Tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\) nên \(B{C^2} = \sqrt {A{C^2} - A{B^2}}  = \sqrt 2 a.\)

\( \Rightarrow {S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}AB.BC = \dfrac{1}{2}.a.a\sqrt 2  = \dfrac{{{a^2}\sqrt 2 }}{2}\).

Gọi \(H\)  là trung điểm của \(AB\)\( \Rightarrow SH \bot AB\) ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABC} \right)\\\left( {SAB} \right) \cap \left( {ABC} \right) = AB\\\left( {SAB} \right) \supset SH \bot AB\end{array} \right. \Rightarrow SH \bot \left( {ABC} \right)\).

Tam giác \(SAB\) đều cạnh \(a \Rightarrow SH = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

Vậy \({V_{S.ABC}} = \dfrac{1}{3}SH.{S_{ABC}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}.\dfrac{{{a^2}\sqrt 2 }}{2} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 6 }}{{12}}.\)

Chọn B.