Phương pháp giải:

Đế tính được thể tích của khối lăng trụ, ta chỉ cần đi tìm \(AA'\)

Lời giải chi tiết:

Xét tam giác vuông \(ABC\) có: \(AB = AC.\tan \widehat {BCA} = a.\tan 60^\circ  = a\sqrt 3 .\)

\( \Rightarrow {S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}AB.AC = \dfrac{1}{2}.a\sqrt 3 .a = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}\).

Do lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) là lăng trụ đứng

\( \Rightarrow AA' \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow AA' \bot BA\,\,\left( 1 \right)\).

Tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) nên \(AB \bot AC\,\,\left( 2 \right)\).

Từ (1) và (2) suy ra \(BA \bot \left( {ACC'A'} \right) \Rightarrow \) Hình chiếu của \(BC'\) trên \(\left( {ACC'A'} \right)\) là \(AC'\).

\( \Rightarrow \angle \left( {BC';\left( {ACC'A'} \right)} \right) = \angle \left( {BC';AC'} \right) = \angle AC'B = {30^0}\).

\(AB \bot \left( {ACC'A'} \right) \Rightarrow AB \bot AC' \Rightarrow \Delta ABC'\) vuông tại \(A\).

Xét tam giác vuông \(ABC'\) có: \(AC' = \dfrac{{AB}}{{\tan \widehat {BC'A}}} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{{\dfrac{1}{{\sqrt 3 }}}} = 3a.\)

\( \Rightarrow CC' = \sqrt {AC{'^2} - A{C^2}}  = \sqrt {{{\left( {3a} \right)}^2} - {a^2}}  = 2\sqrt 2 a\).

Vậy \({V_{ABC.A'B'C'}} = AA'.{S_{ABC}} = 2\sqrt 2 a.\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2} = {a^3}\sqrt 6 .\)

Chọn A.