Phương pháp giải:

Đế tính được thể tích của khối lăng trụ, ta chỉ cần đi tìm \(AA'\).

Lời giải chi tiết:

Xét tam giác vuông \(ABC\) có:

\(AB = AC.\tan \widehat {BCA} = a.\tan 60^\circ  = a\sqrt 3 \).

\( \Rightarrow {S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}AB.AC \)

\(= \dfrac{1}{2}.a\sqrt 3 .a = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}\).

Do lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) là lăng trụ đứng

\( \Rightarrow AA' \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow AA' \bot BA\) (1)

Tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) nên \(AB \bot AC\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(BA \bot \left( {ACC'A'} \right) \Rightarrow \) Hình chiếu của \(BC'\) trên \(\left( {ACC'A'} \right)\) là \(AC'\).

\( \Rightarrow \left( {BC',\left( {ACC'A'} \right)} \right) = \angle \left( {BC',AC'} \right) = \widehat{AC'B} = {30^o}\).

\(AB \bot \left( {ACC'A'} \right) \Rightarrow AB \bot AC' \Rightarrow \Delta ABC'\) vuông tại \(A\).

Xét tam giác vuông \(ABC'\) có:

\(AC' = \dfrac{{AB}}{{\tan \widehat {BC'A}}} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{{\dfrac{1}{{\sqrt 3 }}}} = 3a\)

\( \Rightarrow CC' = \sqrt {AC{'^2} - A{C^2}}  = \sqrt {{{\left( {3a} \right)}^2} - {a^2}}  = 2\sqrt 2 a\).

Vậy \({V_{ABC.A'B'C'}} = AA'.{S_{ABC}} = 2\sqrt 2 a.\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2} = {a^3}\sqrt 6 \).