Phương pháp giải:

- Tìm TXĐ.

- Giải phương trình hoành độ giao điểm và suy ra tọa độ các điểm \(A,\,\,B\).

- Sử dụng công thức: \(AB = \sqrt {{{\left( {{x_B} - {x_A}} \right)}^2} + {{\left( {{y_B} - {y_A}} \right)}^2}} \). Sử dụng định lí Vi-ét.

Lời giải chi tiết:

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}.\)

Xét phương trình hoành độ giao điểm:

\(\begin{array}{l}x + 1 = \dfrac{{x + 3}}{{x - 1}}\,\,\,\left( {x \ne 1} \right) \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right) = x + 3\\ \Leftrightarrow {x^2} - 1 = x + 3 \Leftrightarrow {x^2} - x - 4 = 0\end{array}\)

Phương trình \({x^2} - x - 4 = 0\,\,\left( 1 \right)\) có \(\Delta  = {\left( { - 1} \right)^2} - 4.1.\left( { - 4} \right) = 17 > 0\).

\( \Rightarrow \) Phương trình \(\left( 1 \right)\) luôn có 2 nghiệm phân biệt.

Gọi \({x_1};\,\,{x_2}\) là 2 nghiệm của phương trình \({x^2} - x - 4 = 0\).

Áp dụng định lí Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 1\\{x_1}.{x_2} =  - 4\end{array} \right.\)

Gọi \(A\left( {{x_1};{x_1} + 1} \right);\,\,B\left( {{x_2};{x_2} + 1} \right)\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow AB = \sqrt {{{\left( {{x_1} - {x_2}} \right)}^2} + {{\left( {{x_1} + 1 - {x_2} - 1} \right)}^2}}  = \sqrt {2{{\left( {{x_1} - {x_2}} \right)}^2}} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \sqrt {2\left[ {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 4{x_1}{x_2}} \right]}  = \sqrt {2\left( {{1^2} - 4.\left( { - 4} \right)} \right)}  = \sqrt {34} \end{array}\)

Chọn C.