Phương pháp giải:

Tìm điều kiện để phương trình hoành độ giao điểm có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn TXĐ.

Lời giải chi tiết:

Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng \(d\) và đồ thị hàm số \(\left( C \right)\) là :

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,2x + 1 = \dfrac{{x + m}}{{x - 1}}\,\,\left( {x \ne 1} \right) \Leftrightarrow \left( {2x + 1} \right)\left( {x - 1} \right) = x + m\\ \Leftrightarrow 2{x^2} - x - 1 = x + m \Leftrightarrow 2{x^2} - 2x - \left( {m + 1} \right) = 0\,\,\,\left( 1 \right)\end{array}\)

Để \(d\) cắt \(\left( C \right)\) tại hai điểm phân biệt thì phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt khác 1.

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ' > 0\\{2.1^2} - 2.1 - \left( {m + 1} \right) \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 + 2\left( {m + 1} \right) > 0\\m \ne  - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m >  - \dfrac{3}{2}\\m \ne  - 1\end{array} \right..\)

Chọn D.