Phương pháp giải:

- Chân đường cao hạ từ đỉnh xuống đáy của hình chóp đều là tâm đường tròn ngoại tiếp đáy.

- Tính độ dài đường cao của khối chóp.

- Thể tích khối chóp \(V = \dfrac{1}{3}{S_{day}}.h\).

Lời giải chi tiết:

Gọi \(I\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đáy \( \Rightarrow SI \bot \left( {ABC} \right)\).

Tam giác \(ABC\) đều cạnh \(a \Rightarrow {S_{ABC}} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.\)

Ta có: \(AI = R = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\).

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông \(SIA\) có:

\(SI = \sqrt {S{A^2} - A{I^2}}  = \sqrt {4{a^2} - \dfrac{{{a^2}}}{3}}  = \dfrac{{a\sqrt {33} }}{3}\)

Vậy \({V_{S.ABC}} = \dfrac{1}{3}SI.{S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{a\sqrt {33} }}{3}.\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \dfrac{{{a^3}\sqrt {11} }}{{12}}.\)

Chọn D.