Câu hỏi
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a\), tam giác \(SAB\) cân tại \(S\) và nằm trong mạt phẳng vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\). Góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {SCD} \right)\) và \(\left( {ABCD} \right)\) là 60°. Thể tích của khối chóp \(S.ABCD\) là:
- A \(\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{9}\)
- B \(\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6}\)
- C \(\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3}\)
- D \({a^3}\sqrt 3 \)
Phương pháp giải:
- Tìm chân đường cao của khối chóp đã cho.
- Xác định góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {SCD} \right)\) và \(\left( {ABCD} \right)\), từ đó tính được chiều cao của hình chóp.
- Tính thể tích khối chóp \(V = \dfrac{1}{3}{S_{day}}.h\).
Lời giải chi tiết:
Gọi \(H\) là trung điểm của \(AB\).
\(\Delta SAB\) cân tại S nên \(SH \bot AB\).
Ta có : \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\\\left( {SAB} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = AB\\\left( {SAB} \right) \supset SH \bot AB\end{array} \right. \Rightarrow SH \bot \left( {ABCD} \right)\).
Gọi \(K\) là trung điểm \(CD \Rightarrow HK \bot CD\).
Ta có : \(\left\{ \begin{array}{l}CD \bot HK\\CD \bot SH\,\,\left( {SH \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\end{array} \right. \Rightarrow DCD \bot \left( {SHK} \right) \Rightarrow CD \bot SK\).
\(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SCD} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = CD\\\left( {SCD} \right) \supset SK \bot CD\\\left( {ABCD} \right) \supset HK \bot CD\end{array} \right. \Rightarrow \angle \left( {\left( {SCD} \right);\left( {ABCD} \right)} \right) = \angle \left( {SK;HK} \right) = \angle SKH = {60^0}\)
Do \(SH \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SH \bot HK \Rightarrow \Delta SHK\) vuông tại \(H\).
Ta có: \(HK = AB = a \Rightarrow SH = HK.\tan \widehat {SKH} = a\sqrt 3 .\)
Vậy thể tích của khối chóp đã cho là \({V_{S.ABCD}} = \dfrac{1}{3}SH.AB.AD = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3}.\)
Chọn C.