Lời giải chi tiết:

Xét đáp án A: TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\dfrac{{k\pi }}{2},\,\,k \in \mathbb{Z}} \right\} \Rightarrow \forall x \in D \Rightarrow  - x \in D\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}f\left( x \right) = \dfrac{{\tan 2x}}{{{{\tan }^2}x + 1}} = \dfrac{{\tan 2x}}{{\dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}}}} = \dfrac{{\sin 2x}}{{\cos 2x}}.{\cos ^2}x\\ \Rightarrow f\left( { - x} \right) = \dfrac{{\sin \left( { - 2x} \right)}}{{\cos \left( { - 2x} \right)}}.{\cos ^2}\left( { - x} \right) = \dfrac{{ - \sin 2x}}{{\cos 2x}}.{\cos ^2}x =  - f\left( x \right)\end{array}\)

\( \Rightarrow f\left( x \right)\) là hàm lẻ.

Xét đáp án B: TXĐ: \(D = \mathbb{R} \Rightarrow \forall x \in D \Rightarrow  - x \in D\).

Ta có: \(f\left( { - x} \right) = \sin \left( { - x} \right).\cos \left( { - 2x} \right) =  - \sin x.\cos 2x =  - f\left( x \right)\).

\( \Rightarrow f\left( x \right)\) là hàm lẻ.

Xét đáp án C: TXĐ: \(D = \mathbb{R} \Rightarrow \forall x \in D \Rightarrow  - x \in D\).

Ta có: \(f\left( { - x} \right) = \cos \left( { - x} \right).{\left[ {sin\left( { - x} \right)} \right]^2} = \cos x.{\left( {\sin x} \right)^2} = f\left( x \right)\).

\( \Rightarrow f\left( x \right)\) là hàm chẵn.

Xét đáp án D: TXĐ: \(D = \mathbb{R} \Rightarrow \forall x \in D \Rightarrow  - x \in D\).

Ta có: \(f\left( { - x} \right) = \cos \left( { - x} \right).si{n^2}\left( { - x} \right) = \cos x.{\left[ { - \sin x} \right]^2} =  - \cos x{\sin ^2}x =  - f\left( x \right)\).

\( \Rightarrow f\left( x \right)\) là hàm lẻ.

Chọn C.