Lời giải chi tiết:

Xét đáp án  A: TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {k\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}} \right\} \Rightarrow \forall x \in D \Rightarrow  - x \in D\).

Ta có: \(f\left( { - x} \right) = \dfrac{{\sin \left( { - x} \right)}}{{\cos \left( { - x} \right)}} - \dfrac{1}{{\sin \left( { - x} \right)}} = \dfrac{{ - \sin x}}{{\cos x}} + \dfrac{1}{{\sin x}} =  - \left( {\dfrac{{\sin x}}{{\cos x}} - \dfrac{1}{{\sin x}}} \right) =  - f\left( x \right)\).

\( \Rightarrow f\left( x \right)\)  là hàm lẻ.

Xét đáp án B: TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\dfrac{\pi }{4} + k\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}} \right\} \Rightarrow \forall x \in D \Rightarrow  - x \in D\).

Ta có: \(f\left( x \right) = \sqrt 2 \sin \left( {x - \dfrac{\pi }{4}} \right) = \sin x - \cos x\) (công thức nhé, nên nhớ luôn)

Còn muốn chứng minh xem ở dưới nha:

\(\begin{array}{l}f\left( x \right) = \sqrt 2 \sin \left( {x - \dfrac{\pi }{4}} \right) = 2.\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}.\sin \left( {x - \dfrac{\pi }{4}} \right)\\ &  &  &  = 2.\cos \dfrac{\pi }{4}\sin \left( {x - \dfrac{\pi }{4}} \right)\\ &  &  &  = \sin \left( {x - \dfrac{\pi }{4} + \dfrac{\pi }{4}} \right) + \sin \left( {x - \dfrac{\pi }{4} - \dfrac{\pi }{4}} \right)\\ &  &  &  = \sin x + \sin \left( {x - \dfrac{\pi }{2}} \right)\\ &  &  &  = \sin x - \sin \left( {\dfrac{\pi }{2} - x} \right)\\ &  &  &  = \sin x - \cos x\end{array}\)

Ta có: \(f\left( { - x} \right) = \sin \left( { - x} \right) - \cos \left( { - x} \right) =  - \sin x - \cos x \Rightarrow f\left( x \right)\) là hàm không chẵn không lẻ.

Xét đáp án C: TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\dfrac{\pi }{2} + k\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}} \right\} \Rightarrow \forall x \in D \Rightarrow  - x \in D\).

\(\begin{array}{l}f\left( x \right) = \sin x + \tan x = \sin x + \dfrac{{\sin x}}{{\cos x}}\\ \Rightarrow f\left( { - x} \right) = \sin \left( { - x} \right) + \dfrac{{\sin \left( { - x} \right)}}{{\cos \left( { - x} \right)}} =  - \sin x - \dfrac{{\sin x}}{{\cos x}} =  - \left( {\sin x + \dfrac{{\sin x}}{{\cos x}}} \right) =  - f\left( x \right)\end{array}\)

\( \Rightarrow f\left( x \right)\) là hàm lẻ.

Xét đáp án D: TXĐ: \(D = \mathbb{R} \Rightarrow \forall x \in D \Rightarrow  - x \in D\).

Ta có: \(f\left( { - x} \right) = {\sin ^4}\left( { - x} \right) - {\cos ^4}\left( { - x} \right) = {\left[ { - \sin x} \right]^4} - {\cos ^4}x = {\sin ^4}x - {\cos ^4}x = f\left( x \right)\).

\( \Rightarrow f\left( x \right)\) là hàm chẵn.

Chọn B.