Phương pháp giải:

Cho parabol \(\left( P \right):\,\,\,y = a{x^2} + bx + c\,\,\,\left( {a \ne 0} \right)\) có tọa độ đỉnh là: \(I\left( { - \frac{b}{{2a}};\,\, - \frac{\Delta }{{4a}}} \right).\)

Lời giải chi tiết:

Vì \(\left( P \right)\) là parabol nên ta có \(a \ne 0.\)

Đồ thị \(\left( P \right)\) có điểm thấp nhất là \(B\left( { - 2;\,\,\,4} \right) \Rightarrow \) đồ thị hàm số có bề lõm hướng xuống dưới hay \(a > 0\) và \(B\) là đỉnh của đổ thị hàm số.

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{{ - b}}{{2a}} =  - 2\\\frac{{ - \left( {{b^2} - 4ac} \right)}}{{4a}} = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 4a\\{b^2} - 4ac =  - 16a\end{array} \right.\)

Đồ thị \(\left( P \right)\) đi qua điểm \(A\left( {0;6} \right) \Rightarrow a{.0^2} + b.0 + c = 6 \Rightarrow c = 6.\)

Thay \(c = 6\) vào hệ trên ta được hệ phương trình:

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 4a\\{b^2} - 24a =  - 16a\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 4a\\{b^2} = 8a\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 4a\\16{a^2} - 8a = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 4a\\\left[ \begin{array}{l}a = 0\\a = \frac{1}{2}\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{1}{2}\\b = 2\end{array} \right..\)

Vậy parabol \(\left( P \right):\,\,y = \frac{1}{2}{x^2} + 2x + 6.\)

Chọn B.