Phương pháp giải:

- Đặt ẩn phụ.

- Tính đạo hàm và tìm điều kiện để \(y' < 0\,\,\forall x \in \left( {0;\dfrac{\pi }{2}} \right)\).

Lời giải chi tiết:

Đặt \(t = \cos x\). Với \(x \in \left( {0;\dfrac{\pi }{2}} \right) \Rightarrow t \in \left( {0;1} \right)\).

Do  hàm số \(y = \cos x\) nghịch biến trên \(\left( {0;\dfrac{\pi }{2}} \right)\) nên bài toán trở thành hàm số \(y = \dfrac{{t - 2}}{{t - m}}\) đồng biến trên \(\left( {0;1} \right)\)

Ta có \(y' = \dfrac{{ - m + 2}}{{{{\left( {t - m} \right)}^2}}} > 0.\)

Để hàm số đồng biến trên \(\left( {0;1} \right)\) thì \(\left\{ \begin{array}{l}y' > 0\\m \notin \left( {0;1} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - m + 2 > 0\\\left[ \begin{array}{l}m \le 0\\m \ge 1\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 2\\\left[ \begin{array}{l}m \le 0\\m \ge 1\end{array} \right.\end{array} \right.\)

Vậy \(\left[ \begin{array}{l}m \le 0\\1 \le m < 2\end{array} \right..\)

Chọn A