Phương pháp giải:

- Tìm giao điểm của 2 đồ thị hàm số.

- Sử dụng định lí vi-ét.

Lời giải chi tiết:

Xét phương trình hoành độ giao điểm:

\(x - m = \dfrac{{2x - 3}}{{x - 1}} \Leftrightarrow \left( {x - m} \right)\left( {x - 1} \right) = 2x - 3 \Leftrightarrow {x^2} - \left( {m + 3} \right)x + m + 3 = 0\,\,\left( * \right)\)

Để hai đồ thị hàm số cắt nhau tại 2 điểm phân biệt thì (*) phải có 2 nghiệm phân biệt.

\( \Rightarrow \Delta  = {\left( {m + 3} \right)^2} - 4\left( {m + 3} \right) > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m + 3 > 4\\m + 3 < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > 1\\m <  - 3\end{array} \right.\).

Gọi \(M\left( {{x_M};{x_M} - m} \right),\,\,N\left( {{x_N},{x_N} - m} \right)\).

Áp dụng định lí Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_M} + {x_N} = m + 3\\{x_M}{x_N} = m + 3\end{array} \right.\)

Ta có: \(\overrightarrow {OM} \left( {{x_M};{x_M} - m} \right);\,\,\,\overrightarrow {ON} \left( {{x_N};{x_N} - m} \right)\)

Mà tam giác \(OMN\)vuông tại \(O\)\( \Rightarrow \overrightarrow {OM} .\overrightarrow {ON}  = 0\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {x_M}{x_N} + \left( {{x_M} - m} \right)\left( {{x_N} - m} \right) = 0\\ \Leftrightarrow 2{x_M}{x_N} - \left( {{x_M} + {x_N}} \right)m + {m^2} = 0\\ \Leftrightarrow 2m + 6 - \left( {m + 3} \right)m + {m^2} = 0\\ \Leftrightarrow  - m + 6 = 0 \Leftrightarrow m = 6\,\,\left( {tm} \right).\end{array}\)

Chọn A