Phương pháp giải:

Hàm số: \(y = a{x^2} + bx + c\) có giá trị lớn nhất trên \(\mathbb{R} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a < 0\\{x_{\max }} =  - \frac{b}{{2a}}\\{y_{\max }} =  - \frac{\Delta }{{4a}}\end{array} \right..\)

Lời giải chi tiết:

Hàm số \(y = a{x^2} + bx + c\) có giá trị lớn nhất trên \(\mathbb{R} \Leftrightarrow a < 0 \Rightarrow \) loại đáp án B.

Hàm số đạt giá trị lớn nhất tại đỉnh của đồ thị hàm số.

Ta thấy đồ thị hàm số \(y =  - {x^2} + x + \frac{1}{2}\) có đỉnh \(I\left( {\frac{1}{2};\frac{3}{4}} \right)\) nên hàm số này có giá trị lớn nhất là \(\frac{3}{4}.\)

Chọn C.