Phương pháp giải:

Sử dụng khai triển nhị thức Newton: \({\left( {a + b} \right)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{a^k}{b^{n - k}}} \).

Lời giải chi tiết:

\({\left( {1 + 4x} \right)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{{\left( {4x} \right)}^k}{1^{n - k}}}  = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{4^k}{x^k}} \).

Hệ số của số hạng chứa \({x^2}\) trong khai triển trên là \(C_n^2{4^2} = 16C_n^2\).

Theo bài ra ta có: \(16C_n^2 = 3040 \Leftrightarrow C_n^2 = 190 \Leftrightarrow \dfrac{{n!}}{{2!\left( {n - 2} \right)!}} = 190\).

\( \Leftrightarrow n\left( {n - 1} \right) = 380 \Leftrightarrow {n^2} - n - 380 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 20\,\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\n =  - 19\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\)

Vậy \(n = 20\).

Chọn D.