Phương pháp giải:

Sử dụng khai triển \({\left( {x + 1} \right)^n}\), thay \(x = 1\) và \(x =  - 1\).

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\dfrac{1}{{1!\left( {n - 1} \right)!}} + \dfrac{1}{{3!\left( {n - 3} \right)!}} + \dfrac{1}{{5!\left( {n - 5} \right)!}} + ... + \dfrac{1}{{\left( {n - 1} \right)!1!}} = \dfrac{{{2^{n - 1}}}}{{n!}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{n!}}{{1!\left( {n - 1} \right)!}} + \dfrac{{n!}}{{3!\left( {n - 3} \right)!}} + \dfrac{{n!}}{{5!\left( {n - 5} \right)!}} + ... + \dfrac{{n!}}{{\left( {n - 1} \right)!1!}} = {2^{n - 1}}\\ \Leftrightarrow C_n^1 + C_n^3 + C_n^5 + ... + C_n^{n - 1} = {2^{n - 1}}\end{array}\)

Xét khai triển \({\left( {x + 1} \right)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{x^k}} \).

Thay \(x = 1\) ta có \({\left( {1 + 1} \right)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k}  \Leftrightarrow {2^n} = C_n^0 + C_n^1 + C_n^2 + ... + C_n^{n - 1} + C_n^n\,\,\,\left( 1 \right)\).

Thay \(x =  - 1\) ta có \({\left( { - 1 + 1} \right)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{{\left( { - 1} \right)}^k}}  \Leftrightarrow 0 = C_n^0 - C_n^1 + C_n^2 + ... - C_n^{n - 1} + C_n^n\,\,\,\left( 2 \right)\)

Trừ vế theo vế của (1) và (2) ta có \({2^n} = 2\left( {C_n^1 + C_n^3 + ... + C_n^{n - 1}} \right) \Leftrightarrow C_n^1 + C_n^3 + ... + C_n^{n - 1} = {2^{n - 1}}\).