Phương pháp giải:

+ Xác định góc giữa cạnh bên và đáy.

+ Tính độ dài đường cao lăng trụ.

+ Áp dụng công thức tính thể tích lăng trụ \(V = {S_{day}}.h\).

Lời giải chi tiết:

Gọi \(H\) là trung điểm của \(AB \Rightarrow A'H \bot \left( {ABC} \right)\).

\( \Rightarrow \angle \left( {AA';\left( {ABC} \right)} \right) = \angle \left( {AA';AH} \right) = \widehat {A'AH} = {30^0}\).

Tam giác \(ABC\) đều cạnh \(a \Rightarrow AH = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

Xét tam giác vuông \(A'AH\) có: \(A'H = AH.\tan {30^0} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}.\dfrac{{\sqrt 3 }}{3} = \dfrac{a}{2}\).

Tam giác \(ABC\) đều cạnh \(a \Rightarrow {S_{\Delta ABC}} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\).

Vậy \(V = A'H.{S_{\Delta ABC}} = \dfrac{a}{2}.\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{8}.\)

Chọn D