Phương pháp giải:

Tìm đạo hàm của hàm số rồi nhận xét.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(y' =  - {x^2} + \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2}\cos 2x =  - {x^2} + \dfrac{1}{2}\left( {1 - \cos 2x} \right)\).

Xét trên \(\left( {0;\dfrac{\pi }{2}} \right)\) ta có: \(2x \in \left( {0;\pi } \right) \Rightarrow \cos 2x \in \left( {0;1} \right] \Rightarrow 1 - \cos 2x \in \left[ {0;1} \right)\).

Đặt \(y' = g\left( x \right) =  - {x^2} + \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2}\cos 2x\) ta có: \(g'\left( x \right) =  - 2x + \sin 2x\)

Ta có: \(g''\left( x \right) =  - 2 + 2\cos 2x = 2\left( {\cos 2x - 1} \right) < 0\,\,\forall x \in \left( {0;\dfrac{\pi }{2}} \right)\).

\( \Rightarrow \) Hàm số \(y = g'\left( x \right)\) nghịch biến trên \(\left( {0;\dfrac{\pi }{2}} \right)\).

\( \Rightarrow g'\left( 0 \right) > g'\left( x \right) > g'\left( {\dfrac{\pi }{2}} \right)\,\,\forall x \in \left( {0;\dfrac{\pi }{2}} \right) \Rightarrow 0 > g'\left( x \right) >  - \pi \,\,\forall x \in \left( {0;\dfrac{\pi }{2}} \right)\).

\( \Rightarrow \)Hàm số \(y = g\left( x \right)\) nghịch biến trên \(\left( {0;\dfrac{\pi }{2}} \right)\).

\( \Rightarrow g\left( 0 \right) > g\left( x \right) > g\left( {\dfrac{\pi }{2}} \right)\,\,\forall x \in \left( {0;\dfrac{\pi }{2}} \right) \Leftrightarrow 0 > g\left( x \right) >  - \dfrac{{{\pi ^2}}}{4} + 1\).

\( \Rightarrow g\left( x \right) < 0\,\,\,\forall x \in \left( {0;\dfrac{\pi }{2}} \right) \Rightarrow y' < 0\,\,\,\forall x \in \left( {0;\dfrac{\pi }{2}} \right)\).

Do đó hàm số \(y =  - \dfrac{{{x^3}}}{3} + \dfrac{x}{2} - \dfrac{1}{4}\sin 2x\) nghịch biến trên \(\left( {0;\dfrac{\pi }{2}} \right)\).

Vậy hàm số không có cực trị trên khoảng \(\left( {0;\dfrac{\pi }{2}} \right)\).

Chọn C.