Phương pháp giải:

Phương pháp tìm GTLN, GTNN của hàm số \(y = f\left( x \right)\) trên \(\left[ {a;b} \right]\).

+ Tính \(f'\left( x \right)\).

+ Giải phương trình \(f'\left( x \right) = 0 \Rightarrow {x_i} \in \left[ {a;b} \right]\).

+ Tính \(f\left( a \right),\,\,f\left( b \right),\,\,f\left( {{x_i}} \right)\).

+ KL: \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {a;b} \right]} f\left( x \right) = \max \left\{ {f\left( a \right);f\left( b \right);f\left( {{x_i}} \right)} \right\};\,\,\mathop {\min }\limits_{\left[ {a;b} \right]} f\left( x \right) = \min \left\{ {f\left( a \right);f\left( b \right);f\left( {{x_i}} \right)} \right\}\).

Lời giải chi tiết:

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}\).

Ta có: \(y = \dfrac{{3x + 1}}{{x - 2}} \Rightarrow y' = \dfrac{{ - 7}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} < 0\,\,\forall x \in D\).

Do đó hàm số nghịch biến trên \(\left[ { - 1;1} \right]\).

Vậy \(\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;1} \right]} y = y\left( { - 1} \right) = \dfrac{{3\left( { - 1} \right) + 1}}{{\left( { - 1} \right) - 2}} = \dfrac{{ - 2}}{{ - 3}} = \dfrac{2}{3}.\)

Chọn D