Phương pháp giải:

Phương pháp tìm GTLN, GTNN của hàm số \(y = f\left( x \right)\) trên \(\left[ {a;b} \right]\).

+ Tính \(f'\left( x \right)\).

+ Giải phương trình \(f'\left( x \right) = 0 \Rightarrow {x_i} \in \left[ {a;b} \right]\).

+ Tính \(f\left( a \right),\,\,f\left( b \right),\,\,f\left( {{x_i}} \right)\).

+ KL: \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {a;b} \right]} f\left( x \right) = \max \left\{ {f\left( a \right);f\left( b \right);f\left( {{x_i}} \right)} \right\};\,\,\mathop {\min }\limits_{\left[ {a;b} \right]} f\left( x \right) = \min \left\{ {f\left( a \right);f\left( b \right);f\left( {{x_i}} \right)} \right\}\).

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(y' = 3{x^2} - 6mx.\)

Cho \(y' = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} - 6mx = 0 \Leftrightarrow 3x\left( {x - 2m} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2m\end{array} \right..\)

Khi đó \(y\left( 0 \right) = 6;\,\,y\left( {2m} \right) = 6 - 4{m^3};\,\,y\left( 3 \right) = 33 - 27m\).

TH1: \(2m < 0 \Leftrightarrow m < 0\).

BBT:

Từ BBT ta thấy \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;2} \right]} y = y\left( 0 \right) = 6 \Rightarrow \) Loại.

TH2: \(2m = 0 \Leftrightarrow m = 0 \Rightarrow \) Hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R} \Rightarrow \) Hàm số đồng biến trên \(\left[ {0;2} \right]\).

\( \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ {0;} \right]} y = y\left( 0 \right) = 6 \Rightarrow \)Loại.

TH3: \(0 < 2m < 3 \Leftrightarrow 0 < m < \dfrac{3}{2}\).

BBT:

Từ BBT \( \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ {0;3} \right]} y = y\left( {2m} \right) = 6 - 4{m^3}\)

\( \Rightarrow 6 - 4{m^3} = 2 \Leftrightarrow 4{m^3} = 4 \Leftrightarrow m = 1\,\,\left( {tm} \right)\).

TH4: \(2m = 3 \Leftrightarrow m \ge \dfrac{3}{2} \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ {0;3} \right]} y = y\left( 3 \right) = 33 - 27m = 2 \Leftrightarrow m = \dfrac{{31}}{{27}}\) (Loại).

Vậy \(m = 1\).

Chọn B