Phương pháp giải:

Biến đổi:

 \(\begin{array}{l}{2^n} - 1 - 2 - {2^2} - {2^3} - ... - {2^{100}} = 1\\ \Rightarrow {2^n} - 1 = 1 + 2 + {2^2} + {2^3} + ... + {2^{100}}\end{array}\)

Tính giá trị biểu thức \(1 + 2 + {2^2} + {2^3} + ... + {2^{100}}\), sau đó dựa vào kết quả để tìm \(n\).

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\begin{array}{l}{2^n} - 1 - 2 - {2^2} - {2^3} - ... - {2^{100}} = 1\\ \Rightarrow {2^n} - 1 = 1 + 2 + {2^2} + {2^3} + ... + {2^{100}}\end{array}\)

Đặt \(A = 1 + 2 + {2^2} + {2^3} + ... + {2^{100}}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 2.A = 2.\left( {1 + 2 + {2^2} + {2^3} + ... + {2^{100}}} \right) = 2 + {2^2} + {2^3} + ... + {2^{101}}\\ \Rightarrow 2A - A = \left( {2 + {2^2} + {2^3} + ... + {2^{101}}} \right) - \left( {1 + 2 + {2^2} + {2^3} + ... + {2^{100}}} \right)\\ \Rightarrow A = 2 + {2^2} + {2^3} + ... + {2^{101}} - 1 - 2 - {2^2} - {2^3} - ... - {2^{100}}\\ \Rightarrow A = {2^{101}} - 1\end{array}\)

Suy ra \({2^n} - 1 = {2^{101}} - 1\) . Do đó \(n = 101\) .

Vậy \(n = 101.\)

Chọn C.