Phương pháp giải:

+ Chóp có tất cả các cạnh bên bằng nhau có chân đường vuông góc trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp đáy.

+ Công thức tính thể tích khối chóp: \({V_{chop}} = \dfrac{1}{3}{S_{day}}.h\).

Lời giải chi tiết:

Chóp \(S.ABC\) có \(SA = SB = SC \Rightarrow \) Hình chiếu của \(S\) trên \(\left( {ABC} \right)\) trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\).

Gọi \(H\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC \Rightarrow SH \bot \left( {ABC} \right)\).

Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\), do tam giác \(ABC\) cân tại \(A \Rightarrow AM\) đồng thời là trung trực của \(BC\).

Suy ra \(H \in AM\).

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông \(ABM\) có:

\(AM = \sqrt {A{B^2} - B{M^2}}  = \sqrt {4{a^2} - \dfrac{{9{a^2}}}{4}}  = \dfrac{{a\sqrt 7 }}{2}\).

\( \Rightarrow {S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{2}AM.BC = \dfrac{1}{2}.\dfrac{{a\sqrt 7 }}{2}.3a = \dfrac{{3\sqrt 7 {a^2}}}{4}\).

Gọi \(R\) là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC \Rightarrow R = \dfrac{{AB.BC.CA}}{{4{S_{\Delta ABC}}}} = \dfrac{{2a.2a.3a}}{{4.\dfrac{{3\sqrt 7 {a^2}}}{4}}} = \dfrac{{4\sqrt 7 a}}{7}\).

\( \Rightarrow AH = \dfrac{{4\sqrt 7 a}}{7}\).

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông \(SAH\) có: \(SH = \sqrt {S{A^2} - A{H^2}}  = \sqrt {3{a^2} - \dfrac{{16}}{7}{a^2}}  = \dfrac{{a\sqrt {35} }}{7}\).

Vậy \({V_{S.ABC}} = \dfrac{1}{3}SH.{S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{a\sqrt {35} }}{7}.\dfrac{{3\sqrt 7 {a^2}}}{4} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 5 }}{4}\).

Chọn D.