Câu hỏi
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình bình hành \(ABCD\). Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm các cạnh \(SA,SB\) và \(P\) là điểm bất kỳ thuộc cạnh \(CD\). Biết thể tích khối chóp \(S.ABCD\) là \(V\). Tính thể tích của khối tứ diện \(AMNP\) theo \(V\).
- A \(\dfrac{V}{8}\).
- B \(\dfrac{V}{{12}}\).
- C \(\dfrac{V}{6}\)
- D \(\dfrac{V}{4}\).
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức \({V_{AMNP}} = {V_{P.AMN}} = \dfrac{1}{3}d\left( {P;\left( {AMN} \right)} \right).{S_{AMN}}\).
Lời giải chi tiết:
Ta có \({V_{AMNP}} = {V_{P.AMN}} = \dfrac{1}{3}d\left( {P;\left( {AMN} \right)} \right).{S_{AMN}} = \dfrac{1}{3}d\left( {P;\left( {SAB} \right)} \right).{S_{AMN}}\).
Do \(CP\parallel \left( {SAB} \right) \Rightarrow d\left( {P;\left( {SAB} \right)} \right) = d\left( {C;\left( {SAB} \right)} \right)\).
Lại có \({S_{AMN}} = \dfrac{1}{2}d\left( {N;AM} \right).AM = \dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{2}d\left( {B;SA} \right).\dfrac{1}{2}SA = \dfrac{1}{4}{S_{SAB}}\)
\( \Rightarrow {V_{AMNP}} = \dfrac{1}{3}.d\left( {C;\left( {SAB} \right)} \right).\dfrac{1}{4}.{S_{SAB}} = \dfrac{1}{4}{V_{C.SAB}}\).
Ta có \({V_{C.SAB}} = {V_{S.ABC}} = \dfrac{1}{3}d\left( {S;\left( {ABC} \right)} \right).{S_{ABC}} = \dfrac{1}{3}d\left( {S;\left( {ABC} \right)} \right).\dfrac{1}{2}{S_{ABCD}} = \dfrac{1}{2}{V_{S.ABCD}} = \dfrac{V}{2}\).
Vậy \({V_{AMNP}} = \dfrac{V}{8}\).
Chọn A.
Câu hỏi trước
