Phương pháp giải:

+ Tìm TXĐ của hàm số.

+ Tính đạo hàm của hàm số.

+ Tìm điều kiện để hàm số xác định trên \(\left( {\dfrac{1}{2}; + \infty } \right)\) và \(y' > 0\,\,\forall x \in \left( {\dfrac{1}{2}; + \infty } \right)\).

Lời giải chi tiết:

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - m} \right\}\).

Ta có: \(y' = \left( {\dfrac{{mx + 1}}{{x + m}}} \right)'{\left( {\dfrac{1}{5}} \right)^{\frac{{mx + 1}}{{x + m}}}}\ln \left( {\dfrac{1}{5}} \right) = \dfrac{{{m^2} - 1}}{{{{\left( {x + m} \right)}^2}}}{\left( {\dfrac{1}{5}} \right)^{\frac{{mx + 1}}{{x + m}}}}\ln \left( {\dfrac{1}{5}} \right)\).

Để hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {\dfrac{1}{2}; + \infty } \right)\) thì \(\left\{ \begin{array}{l}y' > 0\,\,\forall x \in \left( {\dfrac{1}{2}; + \infty } \right)\\ - m \notin \left( {\dfrac{1}{2}; + \infty } \right)\end{array} \right.\) .

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 1 < 0\\ - m \le \dfrac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 1 < m < 1\\m \ge  - \dfrac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow  - \dfrac{1}{2} \le m < 1\).

Vậy \(m \in \left[ { - \dfrac{1}{2};1} \right)\).

Chọn D.