Phương pháp giải:

+ Tìm tọa độ các giao điểm \(A,\,\,B\) của hai đồ thị hàm số.

+ \(I\) là trung điểm của \(AB \Rightarrow I\left( {\dfrac{{{x_A} + {x_B}}}{2};\,\dfrac{{{y_A} + {y_B}}}{2}} \right).\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\left( C \right):\,\,\,y = \dfrac{{2x - 1}}{{x + 1}}\,\,\,\,\,\,\left( {x \ne  - 1} \right).\)

Phương trình hoành độ giao điểm của\(\left( C \right)\) và \(\left( d \right)\) là:

\(\begin{array}{l}\dfrac{{2x - 1}}{{x + 1}} = 2x - 3 \Leftrightarrow 2x - 1 = \left( {2x - 3} \right)\left( {x + 1} \right) \Leftrightarrow 2{x^2} - 3x - 2 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left( {2x + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\,\,\,\,\,\,\,\left( {tm} \right) \Rightarrow A\left( {2;\,\,1} \right)\\x =  - \dfrac{1}{2}\,\,\left( {tm} \right) \Rightarrow B\left( { - \dfrac{1}{2}; - 4} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

\( \Rightarrow \) Trung điểm của \(AB\) là: \(M\left( {\dfrac{3}{4};\, - \dfrac{3}{2}} \right).\)

Chọn B.