Câu hỏi
Cho ba tia \(Sx,\,\,Sy,\,\,Sz\) không đồng phẳng và \(\widehat {xSy} = {120^0},\,\,\,\widehat {ySz} = {60^0},\,\,\,\widehat {zSx} = {90^0}.\) Trên các tia \(Sx,\,\,Sy,\,\,Sz\) lấy lần lượt các điểm \(A,\,\,B,\,\,C\) sao cho \(SA = SB = SC = a\). Tính bán kính \(R\) của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện.
- A \(R = \dfrac{a}{2}.\)
- B \(R = a.\)
- C \(R = a\sqrt 2 .\)
- D \(R = a\sqrt 3 .\)
Lời giải chi tiết:
\( + )\) Xét \(\Delta SAC\) có: \(AC = \sqrt {2.{a^2}} = a\sqrt 2 \)
\( + )\) Xét \(\Delta SBC\) có: \(\left\{ \begin{array}{l}SB = SC\\\widehat S = {60^0}\end{array} \right. \Rightarrow \Delta SBC\) đều \( \Rightarrow BC = a\).
\( + )\) Xét \(\Delta SAB\) có:
\(\begin{array}{l}A{B^2} = S{A^2} + S{B^2} - 2.SA.SB.cos{120^0}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {a^2} + {a^2} - 2a.a.\left( {\dfrac{{ - 1}}{2}} \right) = 3{a^2} \Rightarrow AB = a\sqrt 3 \end{array}\)
\( + )\) Xét \(\Delta ABC\) có: \(A{C^2} + B{C^2} = A{B^2}\,\,\left( {2{a^2} + {a^2} = 3{a^2}} \right)\)
\( \Rightarrow \Delta ABC\) vuông tại \(C\).
Lấy \(H\) là trung điểm \(AB \Rightarrow HA = HB = HC\).
\(SA = SB = SC \Rightarrow SH \bot AB\).
\( + )\) Xét \(\Delta SHC\)vuông tại \(H\) có: \(S{C^2} = S{H^2} + C{H^2} \)
\(\Rightarrow SH = \sqrt {S{C^2} - C{H^2}} = \sqrt {{a^2} - {{\left( {\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}} = \dfrac{a}{2}\)
\( \Rightarrow {R_{mcnt}} = \dfrac{{S{A^2}}}{{2.SH}} = \dfrac{{{a^2}}}{{2.\dfrac{a}{2}}} = a\).
Chọn B.
Câu hỏi trước
