Câu hỏi
Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) vuông tại \(C,\,\,BC = a,\,\,\widehat {BAC} = {30^0}.\) Cạnh \(SA\) vuông góc với đáy, góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) và \(\left( {ABC} \right)\) bằng \({45^0}.\) Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp \(S.ABC.\)
- A \(R = \dfrac{{a\sqrt 7 }}{2}.\)
- B \(R = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}.\)
- C \(R = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}.\)
- D \(R = \dfrac{{a\sqrt {13} }}{2}.\)
Lời giải chi tiết:
+ \(\widehat {\left( {\left( {SBC} \right);\left( {ABC} \right)} \right)} = \widehat {SCA} = {45^0}\).
+ Xét \(\Delta ABC\)vuông tại \(C\) có: \(\tan \widehat {BAC} = \dfrac{{BC}}{{AC}}\).
\( \Leftrightarrow \tan {30^o} = \dfrac{a}{{AC}} \Rightarrow AC = a\sqrt 3 \)
\( \Rightarrow AB = \sqrt {A{C^2} + B{C^2}} = \sqrt {3{a^2} + {a^2}} = 2a\)
Xét \(\Delta SAC\)vuông tại \(A\) có:
\(\tan \widehat {SCA} = \dfrac{{SA}}{{AC}} \Leftrightarrow \tan {45^0} = \dfrac{{SA}}{{a\sqrt 3 }} \Rightarrow SA = a\sqrt 3 = h\)
+ Gọi \(I\) là trung điểm \(AB \Rightarrow IA = IB = r = \dfrac{{AB}}{2} = a\).
Bán kính mặt cầu ngoại tiếp chóp \(S.ABC\) là: \(R = \sqrt {{{\left( {\dfrac{h}{2}} \right)}^2} + {r^2}} = \sqrt {\dfrac{{3{a^2}}}{4} + {a^2}} = \dfrac{{a\sqrt 7 }}{2}\).
Chọn A
Câu hỏi trước
